30讲上给了10组基本积分公式，下午浅听了一遍，脑子里印象还不深刻，晚上再来巩固一下。
有这样一系列比较复杂容易混淆的积分公式有必要拿出来对比一下。
- 第一类 \(\frac{1}{□^2 + □^2}\) 和 \(\frac{1}{□^2 - □^2}\)
这其中一个是变量x，另一个是常数a
- 中间是加号时只有一种情况，即arctanx：
\[ \int \frac{1}{a^2 + x^2}\,dx = \frac{1}{a}arctan\frac{x}{a} + C \\ \]
- 中间是减号时存在两种情况：
变量x在前时，可恒等变形为倒数形式的差： \[ \int \frac{1}{x^2 - a^2}\,dx = \int \frac{1}{(x+a)(x-a)}\,dx = \frac{1}{2a}\int \frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a}\,dx = \frac{1}{2a} \ln|\frac{x-a}{x+a}| + C \]
常数a在前面时，相当于添了一个负号，于是：
\[ \int \frac{1}{a^2 - x^2}\,dx = \frac{1}{2a} \ln|\frac{x+a}{x-a}| + C \]
- 第二类\(\frac{1}{\sqrt{□^2 + □^2}}\) 和 \(\frac{1}{\sqrt{□^2 - □^2}}\)
- 中间是加号时的情况：
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\,dx = \ln(x+\sqrt{x^2+a^2}) + C \]
上面这个式子中a通常取1，此时即为著名的反双曲正弦函数
- 中间为减号时，也需要分为两种情况：
变量x在前时，仍然是反双曲正弦函数：
\[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\,dx = \ln(x+\sqrt{x^2-a^2}) + C \,\,(|x|>|a|) \]
常数a在前时，则成了arcsinx的形式：
\[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = arcsin\frac{x}{a} + C\,\,(a>0) \]
- 第三类\(\sqrt{□^2 + □^2}\) 和 \(\sqrt{□^2 - □^2}\)
由于这类积分形式涉及到三角带换，比较复杂，目前只展示基本积分公式中的一个，即
\[ \int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\,\,(a>|x|\ge0) \]
熟悉以上列举出的几个易混淆公式，还有其他诸多公式（尤其三角函数公式），作为基础的工具，为计算复杂积分打下基础。